骰子机率总论＿计算

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情形一：N个骰子掷出后，其中至少有一个骰子点数是指定的某数字（1~6）的概率
这是最基本骰子机率情形：
我们的计算方式也很基本，先算出N个骰子掷出后所有可能的排列组合数（我们设其为G(N)），然后计算「至少有一个骰子点数是某数」的可能的排列组合数（设之为F(N)），后者除以前者，即得概率P(N)=F(N)/G(N)。

先来看G(N)，根据排列组合原理，N个骰子应有6^N（^为次幂表示符号，6^N即6的N次方）种排列组合，即G(N)=6^N。只有1个骰子时，所有排列组合数为G(1)=6^1=6种；有2个骰子时，G(2)=6^2=36；3个、4个和5个骰子时，分别共有216、1296和7776种排列组合可能。（参见附表一之第二列）



再看F(N)。大家注意题目中的「至少」二字，也就是说2个以上骰子的情形时，我们会计入出现1个到N个的同样骰子的概率（比如一共3个骰子，需要掷出至少1个六，我们会把出现1个六、2个六和3个六的情况都计算在内）。

本题的解算方法很多，这裡介绍简单的一个：先计算本题的否命题，即只出现其他5个数字的所有可能情况数，很简单，是5^(N)。所以用总排列组合数减之即得F(N)=6^(N)-5^(N)。（参见附表一第三列）

所以概率P(N)=F(N)/G(N)=[6^(N)-5^(N)]/[6^N]=1-(5/6)^(N)，表一的第四列即列出1个到5个骰子时我们所需要的概率值。

情形二：N个骰子中，至少含有某2个指定数字中的1个
本题的意思是：骰子扔出前玩家先确定两个数字（当然是1到6中的俩个），然后摇骰开盅，裡面的骰子中至少有一个骰子点数等于事先确定的两个数字中的一个。

本题中，总排列组合数G2(N)仍为6^N；而F2(N)的计算方法同样可参照上题中先计算否命题的方法，这次有F2(N)=6^(N)-4^(N)。概率P2(N)=F2(N)/G2(N)=[6^(N)-4^(N)]/[6^N]=1-(2/3)^(N)。具体不同个数骰子时的概率值参见附表二第四列。

有同学会问，若把本题扩展到「至少含有某2个指定数字中的2个」的情况时概率会怎样呢？即玩家仍先确定两个数字，然后求结果中至少有2个骰子的点数等于该两个数字中的一个的概率。如我们先定下了1和2这两个数字，那麽2个骰子中，出现1-1、1-2、2-1、2-2时即符合题意。这个引申题目的计算稍微複杂些，具体结果参见附表二的第五、六列。




情形三：至少有2个骰子点数一样
通俗地说，就是一把骰子里出现至少有一对骰子点数一样的概率。

注意它的表述，「至少有一对」就是说随便是什麽数字对都可以，对1、对2、对3、对4……都行，而不是「指定的某数字对」（如我们指定一定是对2出现）的概率，其实细心的同学可以發现，后者其实是前者概率的1/6。我们同样运用否命题法，细看可知其为「所有骰子里没有任意2个点数是相同的（即全是所谓散牌）」。这下好算了：F3否(N)=6!/[(6-N)!]（!为自然数从自己逐次递减1连乘最后到1的表示符号，如6!=6*5*4*3*2*1，2!=2*1），G3否(N)依然=6^N，所以P3否={6!/[(6-N)!]}/(6^N)。而用100%减去P3否，可得本题所求的概率：P3(N)=1-{6!/[(6-N)!]}/(6^N)。

借用本题的结果，可以得到「至少有2个骰子的点数是指定的某数」的概率：P3(N)除以6即得。（参见附表三）


情形四：至少有3个骰子点数一样
计算方法为6*[C(5,3)*(5^2)+C(5,4)*(5^1)+C(5,5)]，结果见附表四。
（注：C(n,m)=n!/m!(n-m)!，其中n>=m）



情形五：骰子掷出后，所有骰子点数之和的分布情况
参见附表五。具体算法俺就略过了，有兴趣的同学可以自己研究一下。